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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
8.
Dados los vectores $\vec{v}=(1,0,0),\ \vec{w}=(1,1,0)$ y $\vec{u}=(1,1,1)$ en $\mathbb{R}^{3}$:
d) Hallar, si es posible, $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ tales que $(1,-2,1)=\alpha\,\vec{v}+\beta\,\vec{w}+\gamma\,\vec{u}$.
d) Hallar, si es posible, $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ tales que $(1,-2,1)=\alpha\,\vec{v}+\beta\,\vec{w}+\gamma\,\vec{u}$.
Respuesta
Queremos hallar $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ tales que se cumple que
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$(1,-2,1)=\alpha\,\vec{v}+\beta\,\vec{w}+\gamma\,\vec{u}$
es decir,
$(1,-2,1) = \alpha\,(1,0,0) + \beta\,(1,1,0) + \gamma\,(1,1,1)$
Si hacemos las multiplicaciones por los escalares $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ a la derecha, nos queda:
$(1,-2,1) = (\alpha, 0, 0) + (\beta, \beta, 0) + (\gamma, \gamma, \gamma)$
Ahora hacemos la suma de la derecha:
$(1,-2,1) = (\alpha + \beta + \gamma, \beta + \gamma, \gamma)$
Para que estos dos vectores sean iguales, tienen que coincidir coordenada a coordenada, es decir...
Igualando coordenadas $x$ ➡️ $1 = \alpha + \beta + \gamma$
Igualando coordenadas $y$ ➡️ $-2 = \beta + \gamma$
Igualando coordenadas $z$ ➡️ $1 = \gamma$
Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 🙌
De la tercera ecuación ya sabemos que $\gamma = 1$
Reemplazando este resultado en la segunda ecuación, llegamos a que $\beta = -3$
Y reemplazando estos resultados en la primera, tenemos que $\alpha = 3$
Por lo tanto, los valores son:
$\alpha = 3$
$\beta = -3$
$\gamma = 1$
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